КОНСПЕКТЫ
КЧ: Я не стремлюсь максимально подробно представить все материалы к задаче о квадратуре круга. Здесь представлены (21.05.02) и позднее будут дополнены материалы в максимально простой и принципиальной форме проливающие свет на историю задачи и ряд поворотных моментов (с моей точки зрения). Это не очерк, а скорее упрощенное изложение как для студентов, так и для тех, кто стремится мыслить максимально просто (принципиально и философски). Также здесь НЕ ПРЕДСТАВЛЕНА библиография проблемы. Это скорее - пояснение авторской позиции.
I
. Ф. Рудко. Обзор истории задачи о квадратуре круга. - М.-Л. Онти, школа ФЗУ, 1936 г.I I . Христиан Гюйгенс. О найденной величине круга. - Там же (М.-Л. Онти, школа ФЗУ, 1936 г.)
I I I . И. Н. Веселовский. Вступительная статья. - В кн. Архимед. Сочинения. Госиздат физико-математической лит-ры, М., 1962.
I
. Ф. Рудко. Обзор истории задачи о квадратуре круга. - М.-Л. Онти, школа ФЗУ, 1936 г.1. ... простая, по-видимому, задача оказывала самое упорное сопротивление усилиям выдающихся умов... (19)
2. ... в прежние времена, когда метафизика в большей степени владела человеческими умами, чем в настоящее время, с рассматриваемой задачей часто связывалось достопримечательное суеверие, а именно: было распространено мнение, что тот, кому удастся разрешить эту недоступную задачу, получит благодаря этому возможность вообще глубже проникнуть в сущность взаимоотношений между явлениями. (19)
3. ...
p (пи) есть отношение, одно и то же для всех кругов, длины окружности к своему диаметру. С середины X V I I I в. известно, что p (пи) не может быть представлено как отношение двух целых чисел, т. е. что p (пи) есть иррациональное число. Разложение p (пи) в десятичную дробь начинается следующими цифрами:3, 141 592 653 589 793...
Небесполезно указать, что нематематикам квадратура круга кажется обыкновенно невозможной потому, что число
p (пи) не может быть дано вполне точно, а только приближенно. (21)4. Под выражением “построить” мы будем всегда подразумевать “построить при помощи только циркуля и линейки”. Вопрос о возможности квадратуры круга заключается, таким образом, в следующем: возможно ли превратить круг в равновеликий ему квадрат, пользуясь исключительно двумя указанными элементарными задачами, т. е. употребляя только циркуль и линейку (курсив автора - К.Ч.). (23)
5. ... метод истощения, которому основание положили греческие математики (т.е. метод познания целого через разделение его на целые части - К.Ч.) Архимед и Гюйгенс - наиболее крупные представители этого периода: первый из них математически обосновал метод вписанных и описанных многоугольников, второй довел этот метод до той степени совершенства, которая может быть осуществлена с помощью элементарных приемов. (25)
6. В первом периоде речь шла преимущественно о том, чтобы вычислить возможно точнее число
p (пи), т.е. осуществить с каким угодно приближением квадратуру круга, и эта задача была разрешена; во втором периоде исключительное значение получает существенно теоретический вопрос об отыскании для числа p (пи) аналитических выражений, содержащих бесконечный ряд операций.В противоположность этим двум периодам, третий период можно назвать критическим. Здесь речь идет уже не о величине или аналитическом выражении числа
p (пи), как это было раньше, но, главным образом, о природе этого замечательного числа, т. е. о том, является ли оно числом рациональным или иррациональным, алгебраическим или транцендентным. После того как в 1766 г. Ламберт дал первое доказательство иррациональности числа p (пи), а Лежандр усовершенствовал и развил это доказательство, в X I X в. появились работы, которые привели к окончательному разрешению вопроса о квадратуре круга, - работы Лиувилля, Эрмита, Линдемана и Вейерштрасса. (25-26)К.Ч.: 1. Вопрос о качестве есть вопрос о выражении круга в квадрате, то есть о качестве квадрата; вопрос о количестве есть вопрос о точности копий квадрата, и наконец, вопрос о мере есть вопрос об адекватности квадрата (метода) авторскому творческому почерку (то есть вопрос о неповторимости способа решения).
2. Вопрос о точности квадратуры круга есть вопрос абстрактный или вопрос о количестве, то есть возможности произвести требуемое количество совершенно одинаковых копий.
7. В 420 г. математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, которая могла служить для двоякой цели, а именно - для трисекции угла и для квадратуры круга. Эта была трансцендентная линия, известная под именем... или квадратрисы. Эта линия, как впоследствии показал Динострат (во второй половине I V в.), действительно решает задачу о спрямлении круга, ног так она сама не может быть построена при помощи циркуляи линейки, то она не дает решения в смысле, установленном в первой главе.
(28-29)8. Антифон рассуждал следующим образом: если мы впишем в круг квадрат, потом правильный восьмиугольник, шестнадцатиугольник и т.д. пока, таким образом, не будет исчерпан весь круг, то мы придем, наконец, к многоугольнику, который вследствие малости своих сторон совпадет с кругом. Но так как можно построить квадрат, равновеликий всякому многоугольнику, а круг заменен равновеликим многоугольником, то, следовательно, возможно построить квадрат, равновеликий данному кругу. Если Антифон и упустил из виду, что, рассуждая таким образом можно достигнуть только приближенной квадратуры, тем не менее, “он первый стал на совершенно правильный путь и пытался определить площадь криволинейной фигуры, исчерпывая ее с помощью многоугольников с постоянно увеличивающимся числом сторон”. (29-30)
К.Ч.: То есть “правильный путь Антифона” есть аналитический и потому научный - исчерпание объекта. Здесь ощутимо виден переход от измерения к исчислению. “Правильным” (то есть опять же научным) является ПУТЬ, А НЕ МЕТОД, который еще несет на себе след конкретного объекта (то есть исчисление есть следствие измерения). Поэтому парадоксальным оказывается тот факт, что настоящий научности метод достигает только тогда, когда полностью устраняется вообще от какого-либо объекта (измерение становится исчислением). Таким образом, НАУКА БЕЗОБЪЕКТНА и есть потому всего-навсего МЕТОД. Метод и только.
8а. Несмотря на попытки всех вышеназванных геометров о действительно научной постановке задачи о квадратуре круга еще не могло быть речи. За исключением египетского правила, ничего кроме намеков, планов и предположений не было дано.
Математиком, который впервые поставил задачу измерения круга на вполне научную основу, был величайший математик древности Архиме из Сиракуз... (30-31)
8б. Созданный Архимедом метод вычисления длины окружности посредством вписанных и описанных многоугольников играл руководящую роль вплоть до открытия дифференциального и интегрального исчислений, то есть почти 2000 лет. (33)
КЧ: Задача о квадратуре круга с философской стороны есть задача о соответствии качества и количества, естественного и искусственного, природы и цивилизации.
9. ... произошел великий переворот в математических возможностях и методах, который в большой степени отразился и на теории круга. Вместо способа вписанных и описанных многоугольников, которым исключительно пользовались раньше для измерения круга, отныне основной задачей сделалось отыскание аналитических выражений для отношения длины окружности к диаметру
, вследствие чего старые элементарные геометрические методы были совершенно заброшены. (Выделено мной - К.Ч.) (59-60)9а. ... исследования, которые, начиная со второй половины X V I I в., опирались на анализ бесконечно малых, а именно теорию бесконечных рядов... привели к методам, дающим возможность выполнять измерение круга с какой угодно степенью точности (Так! - К.Ч.). Хотя число
p (пи) было известно с более чем 100 десятичными знакакми... Однако природа этого важного и замечательного числа была столь же неизвестна, как и в древности, в том отношении, что все еще оставалось неизвестным, рационально ли число p (пи) или нет. (65-66)10. ... мы стали пользоваться обозначением
p (пи) для выражения отношения длины окружности к ее диаметру, и вообще весьма распространено мнение, что это обозначение очень древнего происхождения. Но это вовсе не так. ...Обозначение этого отношения буквой p (пи), равно как и обозначение основания натуральных логарифмов буквою е, введено Эйлером. (72)КЧ: На мой взгляд, переход от геометрического доказательства к математическому, то есть на основе числа
p (пи), есть переход от единичного к множественного, от качественного к количественному, то есть ОТ ВНЕШНЕГО К ВНУТРЕННЕМУ. Говоря, иными словами, отрицательное положительное доказательство стало отрицательным отрицательным доказательством. То есть классическим отрицательным доказательством, лишенным объективности (объекта), где центр тяжести не на объекте, а на самом доказательстве (процессе).11. После того как в отношении аналитических представлений числа
p (пи), а также в отношении численного определения p (пи) все проблемы оказались исчерпанными и укрепилось убеждение, что этот путь не ведет к решению вопроса о возможности квадратуры круга, в сознании математиков возникла потребность выяснить, наконец, истинную природу этого числа, а именно, узнать, принадлежит ли оно к рациональным числам или нет. Правда, начиная со второй половины X V I I в. не было ни одного крупного математика, который не был бы убежден в иррациональности числа p (пи) и не выражал этого убеждения, однако, строгого доказательства иррациональности не существовало.Только после открытия Эйлером важной зависимости между показательной и тригонометрическими функциями для исследования этого вопроса были открыты новые пути. (73-74)
11а. Доказательство иррациональности числа
p (пи), данное Ламбертом и Лежандром, значительно пододвинуло вперед решение вопроса о возможности квадратуры круга. Правда, еще не была исключена возможность квадратуры, так как некоторые иррациональные числа также могли быть построены при помощи циркуля и линейки; но вероятность, что задача могла быть разрешена этими средствами, сделалась значительно меньше. Главный результат был, однако, тот, что, наконец, после продолжительных поисков был найден ясно намеченный путь, по которому должно было пойти исследование. (78)11б. После... важного открытия Лиувилля является возможность разделения чисел на алгебраические и трансцендентные, между тем как раньше можно было говорить лишь о рациональных и иррациональных. (81)
...
трансцендентным числом называется всякое неалгебраическое число. (82)12. ... всякое число, могущее быть построенным при помощи циркуля и линейки, может быть представлено как корень квадратного уравнения, являющегося последним звеном цепи квадратных уравнений указанного выше вида.
Но, с другой стороны, такая цепь квадратных уравнений всегда может быть заменена одним единственным алгебраическим уравнением с рациональными коэффициентами таким образом, что иррациональности, входящие в последнее уравнение и являющиеся корнями предыдущих уравнений, будут исключены при помощи этих последних. Таким образом, мы приходим к следующему, существенному для задачи о квадратуре круга, выводу:
Для того, чтобы некоторое число могло быть построено при помощи циркуля и линейки, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем известного алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, равнозначного цепи квадратных уравнений указанного выше вида.
Благодаря этой теореме связь вопроса о возможности квадратуры круга с вопросом о том, трансцендентное ли или алгебраическое число p (пи), получает правильное освещение. (84-85)
13. Разрешением основного вопроса о том, являются ли числа е и p (пи) алгебраическими или трансцендентными, наука обязана математикам Эрмиту и Линдеману.
... пользуясь зависимостями между определенными интегралами, которыми пользовался Эрмит, Линдеман в 1882 г. решил, наконец, тысячелетнюю задачу о квадратуре круга, доказав трансцендентность числа p (пи).
(...)
...таким образом, окончательно установлено, что квадратура круга геометрически не выполнима.
(86-87) (Выделено мной - К.Ч.)13а. Но теорема Линдемана о трансцендентности числа p (пи) разрешает вопрос о квадратуре круга еще в бесконечно более широком смысле, чем это требовала первоначальная постановка вопроса: квадратура круга невозможна не только при помощи циркуля и линейки, она невыполнима даже и при том условии, если для построения мы будем пользоваться какими угодно алгебраическими кривыми и поверхностями. Действительно, построение с помощью этих совершенно общих вспомогательных средств хотя и не приводит, как раньше, к цепи квадратных уравнений, все же приводит к цепи алгебраических уравнений, поэтому число, которое могло бы быть построено при их посредстве, непременно должно быть алгебраическим. Следовательно, для трансцендентного числа p (пи) эта возможность исключена. (87-88)
КЧ: То есть, иными словами, ЗРИТЕЛЬНОЕ (или ОБЪЕКТИВНОЕ) представление числа p (пи) невозможно, так оно имеет ЛОГИЧЕСКУЮ (доказательную, искусственную) природу. Число p (пи) является не объективным, а субъективным.
14. Исследования Линдемана дали окончательное решение задачи, замечательной не только своим древним происхождением, но также ролью, сыгранной ею в истории математики. Будучи первоначально чисто геометрической задачей сравнительно второстепенного значения, задача о квадратуре круга в течение веков превратилась в чрезвычайно интересную арифметическую задачу. На ней отразились все наиболее важные изменения, которые постепенно испытывали математические воззрения и методы; она изменяла вместе с ними и при помощи их свою форму, пока, наконец, постановка вопроса не стала столь ясной и точной, что мог получиться определенный ответ. Задача о квадратуре круга участвовала во всех этих изменениях отнюдь не пассивно, но именно вследствие того, что она постоянно и притом в изменяющемся виде привлекала внимание математиков, она оказала сильное влияние на развитие математических наук и в особенности тех теорий, которые привели к решению вопроса. (90-91)
КЧ: Автор не отмечает, что с изменением задачи произошла подмена с внешнего (единичное, качественное) на внутреннее (множественное, количественное).
I I . Христиан Гюйгенс. О найденной величине круга.
1. ... одно только твердо установлено, а именно то, что круг больше вписанного в него многоугольника и меньше описанного около него многоугольника. (106)
I I I . И. Н. Веселовский. Вступительная статья. - В кн. Архимед. Сочинения.
1. Объединителем ионийской и пифагорейской геометрии выступил в конце V в. до н.э. Гиппократ Хиосский, автор первого учебника геометрии типа “начал” Евклида. Символом такого объединения является впервые поставленная Гиппократом задача о квадратуре круга - построение квадрата, равновеликого заданному кругу: чисто пифагорейское представление о квадратуре соединяется с употребительной у ионийцев фигурой круга (следы употребления круга в пифагорейской геометрии нам совершенно неизвестны). (19)
КЧ
(Запись от 21.05.02): Конспект будет продолжен и пока представляет собой предварительную версию.